環擺與弧擺

環擺與弧擺

目的 

驗證環物理擺與弧物理擺的週期。

 

實驗 

實驗裝置:製做兩個具相同內、外徑的環形擺,一個保持原狀,另一個切成只有原來一半的兩個物理擺,分別稱為環物理擺及弧物理擺(以下簡稱環擺、弧擺),在環擺的任一點及弧擺的弧長中點嵌入軸承當作擺動的支點。兩者在同一高度並同時釋放,觀察兩者擺動的週期。

 

 

 

原理思考 

為何兩個擺的週期是一樣的?

 

我們對一物體的質點作力學分析時,可得到一個物理擺的周期與其轉動慣量和質心到支點距離有關,其公式如下:

 

一個半徑為  的環擺,以其質心轉動時,轉動慣量  為:

 

今以圓周上一點進行轉動時(即  時),其轉動慣量 依平行軸定理可寫為:

 

故其擺動周期  為:

 

上式即為環擺的週期。其中 為質量, 為半徑, 為重力加速度。

今將此環擺切成一半,則質量變為, 假設質心位置偏離圓心距離 

經計算得知弧擺質心的轉動慣量  為:

 

再次運用平行軸定理可得,弧擺的邊上中點轉動之轉動慣量  為:

 

從以上我們便知道,環擺與弧擺之週期相等。

 

討論 

不論是環擺或弧擺均有內、外徑存在,而支點在也並非在最外部,故其有實驗誤差存在,試想該如何修正其誤差?

 

1.擺具內、外徑(結構詳圖一),分別為 

ring pendulum fig1

故質心轉動的轉動慣量修正為:

 

因支點位於距質心  處,故支點到質心的距離修正為:

 

實際支點轉動的轉動慣量根據平行軸定理可寫成:

 

故引進誤差後的環擺週期為:

 

 

2.同理可得實際弧擺(結構詳圖二)的週期為:

partial ring pendulum fig1

 其中x為弧擺質心與環擺質心的偏移量。

 

3.我們將後面引進的誤差項拿來討論:

 

其中為環擺的引進誤差、為弧擺的引進誤差,由上式可知道,當環擺與弧擺存在厚度(內外徑 、)時,實際上的週期為弧擺大於環擺。

另軸承嵌入的誤差通常遠小於,故忽略不計,軸承的摩擦力亦忽略。

 

關於實驗 

可同本網站中的單擺與複擺平行軸定理做比較
製作時可將軸承用丙酮浸泡,去除內部黏滯係數較大的的黃油後,再塗黏滯係數較小的液體潤滑劑(如WD-40或黏滯係數較低的機油),以減低軸承的摩擦力。


參考資料 

Physics for Scientists and Engineers: A Strategic Approach: With Modern Physics , Addison Wesley, 2004, p.383-p.386. Randall D. Knight

Why Toast Lands Jelly-Side Down: Zen and the Art of Physics Demonstrations (Princeton, N.J. : Princeton University Press, 1997), p.126-p.127. Robert Ehrlich

“The partial ring pendulum”,The American Journal of Physics, 63, 1014-17(1995)D. Wagner, T Walkerwecz, and D. G. Hinan

 

製作 

v1.黃朝暉

v2.廖奕瑋

 

配樂 

v1.廖奕瑋


指導老師 

吳心恒、朱慶琪

 

撰稿 

黃朝暉